By Jeffrey D. Ullma
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Ist dies nicht der Fall, dann l¨asst sich die entsprechende Ordnung nicht erreichen. 6 Numerische Differenziation Im Gegensatz zur Integration ist die Differenziation ein konstruktiver Vorgang. 6 Numerische Differenziation 49 exakt entweder per Hand oder mit Hilfe eines Computer-Algebra-Systems ausf¨ uhren. Ist die Funktion nur an Hand einer Wertetabelle gegeben, dann ist eine numerische Differenziation notwendig: Die Werte werden interpoliert und das Interpolationspolynom wird entsprechend differenziert.
3505571 . 4 sind f¨ ur unterschiedliche Schrittweiten h die Fehler der numerischen Differenziation betragsm¨ aßig aufgelistet. 4. Verfahrensfehler die Abweichung der exakten Ableitung zum Wert der einseitigen und in der dritten Spalte zum Wert der zentralen Differenzenformel. 4 das Fehlerverhalten der beiden Verfahren: Der Fehler bei der einseitigen Differenzenformel ist proportional zu h, w¨ahrend der Fehler bei der zentralen Differenzenformel proportional zu h 2 ist. Dieses Verhalten spiegelt die Ordnung des Verfahrens wider.
Obwohl der Verfahrensfehler (= Diskretisierungsfehler ) gegen Null geht, steigt der Gesamtfehler an. 5. Gesamtfehler Gesamtfehler = Verfahrensfehler + Rundungsfehler. 1 und bei der numerischen Integration schon diskutiert. Der Verfahrens- oder Diskretisierungsfehler ist der Fehler, den man durch die numerische Approximation erh¨alt: Die Ableitung oder Tangentensteigung wird durch die Sekantensteigung mit h > 0 ersetzt. Der Rundungsfehler beruht auf der Tatsache, dass bei einer numerischen Rechnung die Zahlen nur n¨ aherungsweise dargestellt werden und mit endlicher Genauigkeit gerechnet wird.