By Sebastian Thomas
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Es sei f : {1, 2, 3, 4} → Z, 1 → 1, 2 → 1, 3 → 3, 4 → 1. Dann ist {1, 2, 3, 4}/=f = {[1], [3]} und es gilt f = f¯ ◦ quo mit f¯: {1, 2, 3, 4}/=f → Z, [1] → 1, [3] → 3. 16) Anwendungsbeispiel. Farbige Glasperlen in einer Dose seien als Elemente einer Menge P modelliert. Farben seien als Elemente einer Menge C modelliert. Die Zuordnung der zugehörigen Farbe zu jeder Glasperle sei als Abbildung a : P → C modelliert. Für p, q ∈ P gilt genau dann p =a q, wenn die durch p modellierte Glasperle die gleiche Farbe wie die durch q modellierte Glasperle hat.
Dann ist (f (i))i∈I eine Familie. Obwohl es einen formalen Unterschied zwischen Abbildungen und Familien gibt (insbesondere gehören Startund Zielmenge zu einer gegebenen Abbildung, die Menge in welcher die Einträge einer Familie liegen jedoch nicht zu einer Familie), fassen wir Familien hin und wieder als Abbildungen auf, und umgekehrt ebenso. 9) Konvention. Es seien Mengen X und I gegeben. (a) Es sei eine Familie x in X über I gegeben. Unter Missbrauch der Notation bezeichnen wir die Abbildung I → X, i → xi wieder als x.
Somit ist g ◦ f invertierbar mit (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . 16) gilt idX ◦ idX = idX . Folglich ist idX invertierbar mit id−1 X = idX . (c) Da f −1 : Y → X zu f invers ist, gilt f −1 ◦ f = idX und f ◦ f −1 = idY . h. es ist f −1 invertierbar mit (f −1 )−1 = f . Für iterierte Komposita verwenden wir folgende vereinfachte Schreibweise. 22) Notation. Es sei eine Abbildung f : X → X gegeben. Für k ∈ N0 setzen wir f k := idX , falls k = 0, k−1 f ◦f , falls k > 0. Wenn f invertierbar ist, so setzen wir f −k := (f −1 )k für k ∈ N.