By Chaouqi Misbah
À partir d’exemples simples et communs puisés dans différentes disciplines (mécanique, hydrodynamique, chimie, dynamique de populations, etc), cet ouvrage introduit le langage et les notions propres aux sciences non linéaires permettant d’analyser, de comprendre et de décrire tous ces phénomènes en adoptant progressivement une approche formelle à visée universelle.
Read or Download Dynamiques complexes et morphogenèse: introduction aux sciences non linéaires PDF
Similar system theory books
Stochastic Differential Equations
This booklet offers an advent to the elemental conception of stochastic calculus and its functions. Examples are given through the textual content, so one can inspire and illustrate the idea and convey its value for lots of functions in e. g. economics, biology and physics. the fundamental proposal of the presentation is to begin from a few uncomplicated effects (without proofs) of the simpler situations and improve the speculation from there, and to pay attention to the proofs of the better case (which however are usually sufficiently basic for plenty of reasons) as a way to manage to achieve fast the elements of the speculation that's most vital for the functions.
Algebraic Methods for Nonlinear Control Systems (Communications and Control Engineering)
This can be a self-contained creation to algebraic keep an eye on for nonlinear platforms appropriate for researchers and graduate scholars. it's the first ebook facing the linear-algebraic method of nonlinear regulate structures in this type of distinct and vast type. It presents a complementary method of the extra conventional differential geometry and bargains extra simply with numerous vital features of nonlinear platforms.
Hyperbolic Chaos: A Physicist’s View
"Hyperbolic Chaos: A Physicist’s View” provides contemporary development on uniformly hyperbolic attractors in dynamical platforms from a actual instead of mathematical point of view (e. g. the Plykin attractor, the Smale – Williams solenoid). The structurally good attractors occur robust stochastic houses, yet are insensitive to edition of services and parameters within the dynamical structures.
Fundamentals of complex networks : models, structures, and dynamics
Complicated networks equivalent to the web, WWW, transportation networks, energy grids, organic neural networks, and clinical cooperation networks of all types offer demanding situations for destiny technological improvement. • the 1st systematic presentation of dynamical evolving networks, with many up to date functions and homework tasks to augment research• The authors are all very energetic and recognized within the quickly evolving box of complicated networks• complicated networks have gotten an more and more very important sector of analysis• awarded in a logical, confident kind, from uncomplicated via to advanced, reading algorithms, via to build networks and study demanding situations of the long run
- Adaptive Control: Algorithms, Analysis and Applications
- Problems in Distributions and Partial Differential Equations
- Dynamics of Nonlinear Time-Delay Systems
- Complex Adaptive Systems: An Introduction to Computational Models of Social Life
Additional resources for Dynamiques complexes et morphogenèse: introduction aux sciences non linéaires
Sample text
M ´¾º½ µ ij Ö ÙÑ ÒØ ω2 ×Ø ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ Ò Ø Ú ¸ Ò ÕÙ ÒØ ÕÙ Ð Ø ÖÑ eω2 t ÖÓ Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ Ù ÓÙÖ× Ù Ø ÑÔ× Ð Ø ÑÔ× Ö Ø Ö ×Ø ÕÙ Ð ¾º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÙÜ ÙÖ Ø ÓÒ× ÙÒ Ñ Ò× ÓÒ ¾ ÖÓ ×× Ò ××Ó Ø ÖÑ Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ ×Ø Ð³ÓÖ Ö |1/ω2 | = m/μº Ä³ Ö ÙÑ ÒØ ω1 ×ظ ÕÙ ÒØ ÐÙ ¸ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒÒ Ð Ð ×Ø Ò Ð Ö ÕÙ Ù × ÙÐ Ð ÙÖ Ø ÓÒ Ð ×Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò Ø ´ ÖÓ ×× Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ ×Ø Ò Ø ´ = − c −c 0 ¸ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ c Ù Ö ××ÓÖØ ×Ø Ù Ø ÖÑ eω1 t µ¸ ÐÓÖ×ÕÙ ×ÙÔ Ö ÙÖ × ÐÓÒ Ù ÙÖ Ù Ö ÔÓ× 0 µº Ò Ö Ú Ò ¸ ÐÓÖ×ÕÙ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ Ù Ö ××ÓÖØ ×Ø Ò Ö ÙÖ × ÐÓÒ Ù ÙÖ Ù Ö ÔÓ× c < 0 ¸ г Ö ÙÑ ÒØ ω1 ×Ø ÔÓ× Ø ¸ Ø Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ ×Ù Ø ÙÒ ÖÓ ×× Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ð Ø ÑÔ× ÖÓ ×× Ò Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ eω1 t ×Ø ÐÓÖ× Ð³ÓÖ Ö 1/ω1 ∼ 1/ Ø ÑÔ× Ö Ø Ö ×Ø ÕÙ Ú ÒØ ÓÒ ÔÐÙ× Ò ÔÐÙ× Ð ÒØ ÐÓÖ×ÕÙ Ð ×Ý×Ø Ñ ÔÔÖÓ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÕÙ Ð ÙÖ Ø ÓÒ ´ → 0µº Ô ÒÓÑ Ò Ò Ø Ð Ö Ð ÒØ ×× Ñ ÒØ Ö Ø ÕÙ Ù ÚÓ × Ò Ð ÙÖ Ø ÓÒ ÓÙÖ ¸ Ð ÝÒ Ñ ÕÙ Ù ×Ý×Ø Ñ Ö Ð ÒØ Ø ÐÐ Ú ÒØ ³ ÙØ ÒØ ÔÐÙ× Ð ÒØ ÕÙ Ð ×Ý×Ø Ñ ×³ ÔÔÖÓ Ù × Ù Ð Ö Ø ÕÙ º ¾º¿º¿ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ø ÕÙ Ö Ù Ø ÓÒ Ù ÒÓÑ Ö × ÑÓ Ö × ×Ö Ô × Ð ÖØ Ä³ ØÙ Ð ÝÒ Ñ ÕÙ Ù ×Ý×Ø Ñ Ù ÚÓ × Ò × ÔÓ ÒØ× Ü × ÒÓÙ× Ô ÖÑ × ³ÙÒ Ô Öظ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ×Ø Ð Ø × Ø Ø× ×Ø Ø ÓÒÒ Ö × Ø ³ ÙØÖ Ô Öظ ³ ÒØ Ö Ð × Ö ÒØ× ÑÓ × Ö ÔÓÒ× Ù ×Ý×Ø Ñ × Ô Ø Ø × Ô ÖØÙÖ¹ ÙÒ ÑÓ ×Ø Ð Ø Ö Ô ´ ÖÓ ×× Ò Ø ÓÒ׺ Ò× ¸ Ð ÑÓ ω2 ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒµ ÐÓÖ× ÕÙ Ð ÑÓ ω1 ´ Ú > 0µ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ÑÓ Ò×Ø Ð ÓÒØ Ð ÖÓ ×× Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ ×Ù Ø ÙÒ Ö Ð ÒØ ×× Ñ ÒØ Ö Ø ÕÙ Ù ÚÓ × Ò Ù ÔÓ ÒØ Ö Ø ÕÙ º Ò× ¸ Ù ÓÙÖ× Ù Ø ÑÔ׸ Ð ÑÓ ×Ø Ð ¸ ÓÒØ Ð³ ÚÓÐÙØ ÓÒ ×Ø Ö Ô ¸ ׳ ¹ Ú ÒÓ٠ظ Ø Ò × ÕÙ Ð ÑÓ Ð ÒØ Ô Ö× ×Ø Ð ÝÒ Ñ ÕÙ ×Ø ÓÒ ÓÙÚ ÖÒ ¸ Ù ÚÓ × Ò Ù ÔÓ ÒØ Ö Ø ÕÙ ¸ Ô Ö Ð × ÑÓ × Ð ÒØ׺ ØØ × ØÙ Ø ÓÒ ×Ø ×ÓÙÚ ÒØ Ö Ò ÓÒØÖ Ò× Ð³ ØÙ × ×Ý×Ø Ñ × ÝÒ Ñ Õ٠׸ ÕÙ Ð Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ð ÙÖ Ò ÐÝ× º Ò Ø¸ Ñ Ñ ÐÓÖ×ÕÙ Ð × ×Ý×Ø Ñ × ØÙ × ÓÑÔÓÖØ ÒØ ÙÒ ÒÓѹ Ö Ð Ú ÑÓ × ´ÓÙ Ö × Ð ÖØ µ¸ × ÙÐ× Ð × ÕÙ ÐÕÙ × ÑÓ × Ð ÒØ× Ô Ö× ×Ø ÒØ Ù ÚÓ × Ò Ð ÙÖ Ø ÓÒ Ð × ÙØÖ × ÑÓ × Ö Ô × ×ÓÒØ Ò× Ø ÕÙ Ñ ÒØ ×× ÖÚ × ÙÜ ÑÓ × Ð ÒØ׺ ÍÒ ÒÓÑ Ö Ö ×ØÖ ÒØ Ö × Ð ÖØ Ö Ø Ð ÝÒ Ñ ÕÙ Ø Ú º ij Ð Ñ Ò Ø ÓÒ × ÑÓ × Ö Ô × Ù ÔÖÓ Ø × ÑÓ × Ð ÒØ ×Ø ÒÓÑÑ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ø ÕÙ Ð × ÑÓ × Ö Ô × ×³ ÔØ ÒØ Ø ÕÙ Ñ ÒØ Ð ÝÒ Ñ ÕÙ × ÑÓ × Ð ÒØ׺ Ä Ø ÖÑ Ø ÕÙ ¸ ÙØ Ð × Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ¸ ×Ø ××Ù Ù Ø ÖÑ Ö ØÓ׸ ÕÙ × Ò Ò Ö Ò ×× Ð º ÍÒ ×Ý×Ø Ñ ×Ù Ø ÙÒ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÕÙ ÐÓÖ×ÕÙ ¸ Ù ÓÙÖ× ØØ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ¸ Ð ×Ø Ø ÖÑ ÕÙ Ñ ÒØ ×ÓÐ Ù Ñ Ð Ù ÜØ Ö ÙÖº ÁÐ Ô ÙØ Ò× Ò Ö Ð³ Ò Ö Ñ Ò ÕÙ Ú Ð³ ÜØ Ö ÙÖ Ñ × ØÓÙØ Ò Ð ÙÖ ×Ø ÔÖÓ× Ö Ø ´Ô ÖÓ × ×ÓÐ ÒØ × Ø × Ø ÕÙ ×µº ÄÓÖ×ÕÙ Ð × Ô ÖÓ × ×ÓÒØ ÓÒ Ù ØÖ × Ð ÙÖ¸ ÙÒ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ Ô ÙØ Ò ÓÖ ØÖ ÓÒ× Ö ÓÑÑ Ø ÕÙ × ÐР׳ ØÙ ØÖ × Ö Ô ¹ Ñ Òظ ³ ×ع ¹ Ö ÐÓÖ×ÕÙ³ Ù ÙÒ Ò Ð ÙÖ Ò³ Ù Ð Ø ÑÔ× × Ö Ð × Ö Ù ÓÙÖ× Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒ× Ö º ³ ×Ø Ò× Ø ×ÔÖ Ø ÕÙ³ Ð ×Ø Ø Ù× Ð ÒÓØ ÓÒ ³ Ø Ø Ð ÑÓ ××Ó ω2 ׳ ÔØ ØÖ × Ö Ô Ñ ÒØ ´ÓÒ Ø Ø ÕÙ Ñ Òص Ù ÑÓ Ð Òغ ¾ ÝÒ Ñ ÕÙ × ÓÑÔÐ Ü × Ø ÑÓÖÔ Ó Ò × ÙÖ ¾º ÙÜ Ö Ò ÍÒ Ö ÑÑ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÙÖ º Ä × Ð Ò × ÓÒØ ÒÙ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × ×Ø Ð ×¸ Ø Ð × Ð Ò × × ÓÒØ ÒÙ × ÙÜ Ö Ò × Ò×Ø Ð ×º Ò ÔÖÓ ÒØ ÙÒ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ø ÕÙ Ð ÝÒ Ñ ÕÙ Ù ×Ý×Ø Ñ ØÙ ¸ ÒÓÙ× Ó Ø ÒÓÒ× Ô ÖØ Ö Ð ÓÖÑ Ò Ö Ð Ð³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ð Ô ÖØÙÖ¹ Ø ÓÒ x1 (t) ´ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º½ µ Ò× Ð ÕÙ ÐÐ ÒÓÙ× ÓÒ× ÖÚÓÒ× ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ð ÑÓ ÖÓ ×× ÒØ Ð ÒØ Ñ ÒØ ´Ð³ ÙØÖ ÑÓ ×³ ÑÓÖØ Ø Ö Ô Ñ Òص x1 (t) aeω2 t = ae(k/μ) t .
DT μ 2μ 2c 0 ´¾º¾¿µ ¾ ÝÒ Ñ ÕÙ × ÓÑÔÐ Ü × Ø ÑÓÖÔ Ó Ò × ØØ ÕÙ Ø ÓÒ ³ ÑÔÐ ØÙ Ò ÓÒØ ÒØ ÔÐÙ× Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÕÙ ÑÓÒØÖ Ð Ó Ö Ò ´Ó٠гÙÒ ÓÖÑ Ø µ Ù Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ Ò × Ö Ù Ô Ö Ñ ØÖ 1/2 º È Ö ÐÐ ÙÖ׸ Ð ÓÖÑ ØØ ÕÙ Ø ÓÒ ³ ÑÔÐ ØÙ ¸ Ð Ñ ÒØ ÒÓÑÑ ÓÖÑ ÒÓÖÑ Ð ³ÙÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÙÖ ¸ Ò Ô Ò Ô × Ð ÓÖÑ Ò Ø Ð Ep ¸ ÔÓÙÖÚÙ ÕÙ³ ÐÐ ×Ó Ø Ô Ö Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ xº ÆÓØÓÒ׸ Ò ÓÙØÖ ¸ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ð ÓÖÑÙРг г ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ö Ð Ð ÝÒ Ñ ÕÙ ´¾º µ ×ÔÓ× ÙÜ Ö × Ð ÖØ ´ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ Ù × ÓÒ ÓÖ Ö Ó ÒØ× ÓÒ×Ø ÒØ×µ¸ Ø Ò × Õ٠г ÕÙ Ø ÓÒ ³ ÑÔÐ ØÙ ×Ø Ù ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ö º ÆÓÙ× ÚÓÒ× Ò× Ö Ù Ø Ð ÒÓÑ Ö Ö × Ð ÖØ ÙÜ Ú Ö Ð × ÙÒ × ÙÐ ¸ Ö Ð³ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ø ÕÙ ÓÒ ¨ ³ÓÖ Ö Ò Ö ÙÖ ÐÙ ×ÙÖ Ð³ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ø ÑÔÓÖ ÐÐ × ÓÒ x Ð Ö Ú Ø ÑÔÓÖ ÐÐ ÔÖ Ñ Ö x˙ º г ÕÙ Ø ÓÒ ³ ѹ È Ö ÐÐ ÙÖ׸ Ò Ð Ñ Ò ÒØ Ð Ø ÖÑ ÒÓÒ Ð Ò Ö − 2μk 2 A30 c ÔÐ ØÙ ´ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º¾¿µ¸ ÒÓÙ× Ó Ø ÒÓÒ× ÙÒ ×ÓÐÙØ ÓÒ A0 (T ) ÓÒÒ Ô Ö A0 (T ) = ae(k/μ)T ´Ó a ×Ø ÙÒ Ø ÙÖ ³ ÒØ Ö Ø ÓÒµ¸ ÕÙ ×Ø ØÖ × Ü Ø Ñ ÒØ Ð ×ÓÐÙ¹ Ø ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ò Ö ´ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º½ µ Ó Ø ÒÙ ÐÓÖ×ÕÙ × ÙÐ Ð ÑÓ Ð ÒØ ×Ø ÓÒ× ÖÚ º ij Ø ÓÒ Ù Ø ÖÑ ÒÓÒ Ð Ò Ö Ò× Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ³ ÑÔÐ ØÙ ´ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º¾¿µ ÔÓÙÖ Ø ×³ÓÔÔÓ× Ö Ð ÖÓ ×× Ò Ð³ ÑÔÐ ØÙ A0 (t) Ù ÓÙÖ× Ù Ø ÑÔ× ´× Ò Ò Ø µ Ø ÓÒ Ù Ø¸ Ø ÖÑ ¸ ÙÒ × ØÙÖ Ø ÓÒ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ º ¾º¿º ÓÖÑ ÒÓÒ Õ٠г ÕÙ Ø ÓÒ ³ ÑÔÐ Ø٠ijÙÒ Ú Ö× Ð Ø Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ³ ÑÔÐ ØÙ ´ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º¾¿µ ÔÖ Ò ØÓÙØ ×ÓÒ × √Ò× Ò ÔÖÓ ÒØ ÒÓÙÚ ÙÜ Ò Ñ ÒØ× Ú Ö Ð º Ò ÔÓ× ÒØ A0 = A 0 2 Ø τ = kT /μ¸ ÒÓÙ× Ó Ø ÒÓÒ× ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÖÑ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ³ ÑÔÐ ØÙ ¸ Ø ÒÓÒ ÕÙ dA ´¾º¾ µ = A − A3 dτ Ö Ò Ô Ò ÒØ ØÓÙ× Ð × Ô Ö Ñ ØÖ × Ô Ý× ÕÙ × Ù ×Ý×Ø Ñ ØÙ º ØØ ÕÙ Ø ÓÒ ³ ÑÔÐ ØÙ Ö Ú ³ÙÒ ÔÓØ ÒØ Ð V (A) = −A2 /2 + A4 /4¸ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ö ÓÖÑÙÐ Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÒÓÒ ÕÙ ³ ÑÔÐ ØÙ ´ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º¾ µ ÓÑÑ dA ∂V (A) ´¾º¾ µ =− .
X0 = 0 Ò× Ð × Ö ÙÑ ÒØ× w12 ´ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º½¿µ × Ø ÖÑ × ÜÔÓÒ ÒØ Ð× Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ x1 (t)¸ Ø Ò × ÔÐ ÒØ ØÓÙ ÓÙÖ× Ò× × ÓÒ Ø ÓÒ× ÖÓØØ ¹ 2 Ñ ÒØ ÓÖØ ´μ + 4mk > 0µ¸ ÒÓÙ× Ó Ø ÒÓÒ× w12 = μ/2m −1 ± 1 + 4mk /μ2 º Ù ÚÓ × Ò Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÕÙ Ð ÙÖ Ø ÓÒ ÓÙÖ ´ → 0µ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ØÙ Ö ÙÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ì ÝÐÓÖ Ù ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ö Ò ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð³ ÜÔÖ ×× ÓÒ ×Ù Ú ÒØ × Ö ÙÑ ÒØ× w12 ω1 k μ Ø ω2 − μ . m ´¾º½ µ ij Ö ÙÑ ÒØ ω2 ×Ø ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ Ò Ø Ú ¸ Ò ÕÙ ÒØ ÕÙ Ð Ø ÖÑ eω2 t ÖÓ Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ Ù ÓÙÖ× Ù Ø ÑÔ× Ð Ø ÑÔ× Ö Ø Ö ×Ø ÕÙ Ð ¾º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÙÜ ÙÖ Ø ÓÒ× ÙÒ Ñ Ò× ÓÒ ¾ ÖÓ ×× Ò ××Ó Ø ÖÑ Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ ×Ø Ð³ÓÖ Ö |1/ω2 | = m/μº Ä³ Ö ÙÑ ÒØ ω1 ×ظ ÕÙ ÒØ ÐÙ ¸ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒÒ Ð Ð ×Ø Ò Ð Ö ÕÙ Ù × ÙÐ Ð ÙÖ Ø ÓÒ Ð ×Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò Ø ´ ÖÓ ×× Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ ×Ø Ò Ø ´ = − c −c 0 ¸ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ c Ù Ö ××ÓÖØ ×Ø Ù Ø ÖÑ eω1 t µ¸ ÐÓÖ×ÕÙ ×ÙÔ Ö ÙÖ × ÐÓÒ Ù ÙÖ Ù Ö ÔÓ× 0 µº Ò Ö Ú Ò ¸ ÐÓÖ×ÕÙ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ Ù Ö ××ÓÖØ ×Ø Ò Ö ÙÖ × ÐÓÒ Ù ÙÖ Ù Ö ÔÓ× c < 0 ¸ г Ö ÙÑ ÒØ ω1 ×Ø ÔÓ× Ø ¸ Ø Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ ×Ù Ø ÙÒ ÖÓ ×× Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ð Ø ÑÔ× ÖÓ ×× Ò Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ eω1 t ×Ø ÐÓÖ× Ð³ÓÖ Ö 1/ω1 ∼ 1/ Ø ÑÔ× Ö Ø Ö ×Ø ÕÙ Ú ÒØ ÓÒ ÔÐÙ× Ò ÔÐÙ× Ð ÒØ ÐÓÖ×ÕÙ Ð ×Ý×Ø Ñ ÔÔÖÓ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÕÙ Ð ÙÖ Ø ÓÒ ´ → 0µº Ô ÒÓÑ Ò Ò Ø Ð Ö Ð ÒØ ×× Ñ ÒØ Ö Ø ÕÙ Ù ÚÓ × Ò Ð ÙÖ Ø ÓÒ ÓÙÖ ¸ Ð ÝÒ Ñ ÕÙ Ù ×Ý×Ø Ñ Ö Ð ÒØ Ø ÐÐ Ú ÒØ ³ ÙØ ÒØ ÔÐÙ× Ð ÒØ ÕÙ Ð ×Ý×Ø Ñ ×³ ÔÔÖÓ Ù × Ù Ð Ö Ø ÕÙ º ¾º¿º¿ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ø ÕÙ Ö Ù Ø ÓÒ Ù ÒÓÑ Ö × ÑÓ Ö × ×Ö Ô × Ð ÖØ Ä³ ØÙ Ð ÝÒ Ñ ÕÙ Ù ×Ý×Ø Ñ Ù ÚÓ × Ò × ÔÓ ÒØ× Ü × ÒÓÙ× Ô ÖÑ × ³ÙÒ Ô Öظ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ×Ø Ð Ø × Ø Ø× ×Ø Ø ÓÒÒ Ö × Ø ³ ÙØÖ Ô Öظ ³ ÒØ Ö Ð × Ö ÒØ× ÑÓ × Ö ÔÓÒ× Ù ×Ý×Ø Ñ × Ô Ø Ø × Ô ÖØÙÖ¹ ÙÒ ÑÓ ×Ø Ð Ø Ö Ô ´ ÖÓ ×× Ò Ø ÓÒ׺ Ò× ¸ Ð ÑÓ ω2 ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒµ ÐÓÖ× ÕÙ Ð ÑÓ ω1 ´ Ú > 0µ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ÑÓ Ò×Ø Ð ÓÒØ Ð ÖÓ ×× Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ ×Ù Ø ÙÒ Ö Ð ÒØ ×× Ñ ÒØ Ö Ø ÕÙ Ù ÚÓ × Ò Ù ÔÓ ÒØ Ö Ø ÕÙ º Ò× ¸ Ù ÓÙÖ× Ù Ø ÑÔ׸ Ð ÑÓ ×Ø Ð ¸ ÓÒØ Ð³ ÚÓÐÙØ ÓÒ ×Ø Ö Ô ¸ ׳ ¹ Ú ÒÓ٠ظ Ø Ò × ÕÙ Ð ÑÓ Ð ÒØ Ô Ö× ×Ø Ð ÝÒ Ñ ÕÙ ×Ø ÓÒ ÓÙÚ ÖÒ ¸ Ù ÚÓ × Ò Ù ÔÓ ÒØ Ö Ø ÕÙ ¸ Ô Ö Ð × ÑÓ × Ð ÒØ׺ ØØ × ØÙ Ø ÓÒ ×Ø ×ÓÙÚ ÒØ Ö Ò ÓÒØÖ Ò× Ð³ ØÙ × ×Ý×Ø Ñ × ÝÒ Ñ Õ٠׸ ÕÙ Ð Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ð ÙÖ Ò ÐÝ× º Ò Ø¸ Ñ Ñ ÐÓÖ×ÕÙ Ð × ×Ý×Ø Ñ × ØÙ × ÓÑÔÓÖØ ÒØ ÙÒ ÒÓѹ Ö Ð Ú ÑÓ × ´ÓÙ Ö × Ð ÖØ µ¸ × ÙÐ× Ð × ÕÙ ÐÕÙ × ÑÓ × Ð ÒØ× Ô Ö× ×Ø ÒØ Ù ÚÓ × Ò Ð ÙÖ Ø ÓÒ Ð × ÙØÖ × ÑÓ × Ö Ô × ×ÓÒØ Ò× Ø ÕÙ Ñ ÒØ ×× ÖÚ × ÙÜ ÑÓ × Ð ÒØ׺ ÍÒ ÒÓÑ Ö Ö ×ØÖ ÒØ Ö × Ð ÖØ Ö Ø Ð ÝÒ Ñ ÕÙ Ø Ú º ij Ð Ñ Ò Ø ÓÒ × ÑÓ × Ö Ô × Ù ÔÖÓ Ø × ÑÓ × Ð ÒØ ×Ø ÒÓÑÑ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ø ÕÙ Ð × ÑÓ × Ö Ô × ×³ ÔØ ÒØ Ø ÕÙ Ñ ÒØ Ð ÝÒ Ñ ÕÙ × ÑÓ × Ð ÒØ׺ Ä Ø ÖÑ Ø ÕÙ ¸ ÙØ Ð × Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ¸ ×Ø ××Ù Ù Ø ÖÑ Ö ØÓ׸ ÕÙ × Ò Ò Ö Ò ×× Ð º ÍÒ ×Ý×Ø Ñ ×Ù Ø ÙÒ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÕÙ ÐÓÖ×ÕÙ ¸ Ù ÓÙÖ× ØØ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ¸ Ð ×Ø Ø ÖÑ ÕÙ Ñ ÒØ ×ÓÐ Ù Ñ Ð Ù ÜØ Ö ÙÖº ÁÐ Ô ÙØ Ò× Ò Ö Ð³ Ò Ö Ñ Ò ÕÙ Ú Ð³ ÜØ Ö ÙÖ Ñ × ØÓÙØ Ò Ð ÙÖ ×Ø ÔÖÓ× Ö Ø ´Ô ÖÓ × ×ÓÐ ÒØ × Ø × Ø ÕÙ ×µº ÄÓÖ×ÕÙ Ð × Ô ÖÓ × ×ÓÒØ ÓÒ Ù ØÖ × Ð ÙÖ¸ ÙÒ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ Ô ÙØ Ò ÓÖ ØÖ ÓÒ× Ö ÓÑÑ Ø ÕÙ × ÐР׳ ØÙ ØÖ × Ö Ô ¹ Ñ Òظ ³ ×ع ¹ Ö ÐÓÖ×ÕÙ³ Ù ÙÒ Ò Ð ÙÖ Ò³ Ù Ð Ø ÑÔ× × Ö Ð × Ö Ù ÓÙÖ× Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒ× Ö º ³ ×Ø Ò× Ø ×ÔÖ Ø ÕÙ³ Ð ×Ø Ø Ù× Ð ÒÓØ ÓÒ ³ Ø Ø Ð ÑÓ ××Ó ω2 ׳ ÔØ ØÖ × Ö Ô Ñ ÒØ ´ÓÒ Ø Ø ÕÙ Ñ Òص Ù ÑÓ Ð Òغ ¾ ÝÒ Ñ ÕÙ × ÓÑÔÐ Ü × Ø ÑÓÖÔ Ó Ò × ÙÖ ¾º ÙÜ Ö Ò ÍÒ Ö ÑÑ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÙÖ º Ä × Ð Ò × ÓÒØ ÒÙ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × ×Ø Ð ×¸ Ø Ð × Ð Ò × × ÓÒØ ÒÙ × ÙÜ Ö Ò × Ò×Ø Ð ×º Ò ÔÖÓ ÒØ ÙÒ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ø ÕÙ Ð ÝÒ Ñ ÕÙ Ù ×Ý×Ø Ñ ØÙ ¸ ÒÓÙ× Ó Ø ÒÓÒ× Ô ÖØ Ö Ð ÓÖÑ Ò Ö Ð Ð³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ð Ô ÖØÙÖ¹ Ø ÓÒ x1 (t) ´ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º½ µ Ò× Ð ÕÙ ÐÐ ÒÓÙ× ÓÒ× ÖÚÓÒ× ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ð ÑÓ ÖÓ ×× ÒØ Ð ÒØ Ñ ÒØ ´Ð³ ÙØÖ ÑÓ ×³ ÑÓÖØ Ø Ö Ô Ñ Òص x1 (t) aeω2 t = ae(k/μ) t .