By Dietlinde Lau
Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. Dieses zweibändige Lehrbuch liegt jetzt in korrigierter zweiter Auflage vor und fährt umfassend und lebendig in den Themenkomplex ein. Dabei ermöglichen ein klares Herausarbeiten von Lösungsalgorithmen, viele Beispiele, ausführliche Beweise und eine deutliche optische Unterscheidung des Kernstoffs von weiterführenden Informationen einen raschen Zugang zum Stoff. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben erleichtert nicht nur eine aktive Erarbeitung des Inhalts, sondern zeigt auch die unterschiedlichsten Anwendungsmöglichkeiten auf.
Zum Inhalt: Einführung in die Grundbegriffe der Mathematik und Vorstellung der wichtigsten Beweismethoden; Lineare Algebra und analytische Geometrie; Einführung in die Numerische Algebra.
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B. in [Deu 99], wo man auch die Originalbeweise von Cohen und der von ihm benutzten Ergebnisse anderer Mathematiker nachlesen kann. Wer sich f¨ ur Unentscheidbarkeitsbeweise interessiert, dem sei [Rau 96] empfohlen. Verstehen kann man die dort angegebenen Beweise jedoch erst, nachdem man sich ausf¨ uhrlich mit Mathematischer Logik besch¨ aftigt hat. Da die Mathematische Logik ein wichtiger Bestandteil der Grundlagenmathematik bildet, wollen wir einige Anfangs¨ uberlegungen dieser Theorie im n¨ achsten Abschnitt behandeln.
Der Konj. 1. 2. 3. 4. xy xy xz yz Da keine weitere Zusammenfassung mehr m¨ oglich ist, sind wir mit Schritt 1 fertig. Als erste verk¨ urzte Darstellung f¨ ur f haben wir damit f (x, y, z) = xy ∨ x y ∨ x z ∨ yz erhalten. 2. Schritt: Man lasse diejenigen Konjunktionen in der durch Schritt 1 erhaltenen Darstellung f¨ ur f weg, die u ussig sind. B. yz u ussig ist. Wir erhalten zum Abschluß unseres ¨berfl¨ Verfahrens damit die folgende minimale DNF: f (x, y, z) = xy ∨ x y ∨ x z. Es sei noch bemerkt, daß man sich die obige verk¨ urzte Darstellung sowie einige andere M¨ oglichkeiten anhand folgender geometrischen Darstellung der dreistelligen Funktion f u ¨berlegen kann: urfels wie unten angegeben Man deute die Tupel (x, y, z) ∈ {0, 1}3 als Ecken eines W¨ und kennzeichne diejenigen Ecken, die zu den Tupeln geh¨ oren, auf denen f den Wert 1 annimmt: xy (1,1,1) t ✚✚❩❩ ❅ ❘ ❅ ✚ ❩ ❩ (0,1,1) (1,1,0) ✚✚ t q ❩q ✚❩ ✚ ❩❩ ✚ (1,0,1) ❩ ✚ ✚ ❩ ❩ ✚ ✚✒❩ q✚ t✚✚ ❩❩t ❩ (0,1,0) ✚ (0,0,1) (1,0,0) ❩❩ ✚ yz ❩ ✚ ■ ✒ ✚ ❅ ❩ ❩t✚ ❅ xy x z (0,0,0) ❅ achen, Man sieht nun leicht, daß Konjuktionen der Form ua (u ∈ {x, y, z}) Seitenfl¨ Konjunktionen der Form ua v b (u, v ∈ {x, y, z}) Seitenkanten und Konjunktionen urfels charakterisieren.
F¨ ur A ist gleichm¨ achtig zu B“ schreiben wir kurz: ” A ∼ B. Nachfolgend einige Beispiele f¨ ur gleichm¨ achtige Mengen A und B, wobei ab dem dritten Beispiel die bijektiven Abbildungen f nur durch Zeichnungen charakterisiert werden, die mit mehr oder weniger Aufwand nat¨ urlich auch in Berechnungsvorschriften f¨ ur die Abbildungen u ¨bersetzt werden k¨onnen. ) Offenbar sind endliche Mengen genau dann gleichm¨achtig, wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen enthalten. ) A = N0 , B = Z. f = {(0, 0), (1, 1), (2, −1), (3, 2), (4, −2), .