By Alfred Karl Louis
Inverse Probleme treten bei der Bestimmung der ein method beschreibenden Parame ter aus Beobachtungen des platforms auf. Ein Beispiel hierfiir ist die Identifizierung einer " Black field " aus enter und Output. 1st der enter die Intensitiit eines ROntgenstrah les und der Output die Intensitiit des Strahles nach Durchlaufen eines Korpers, so ka. nn guy aus vielen Strahlen, etwa einer halben Million, in der computing device - Tomographie die Dichte des durchlaufenen Korpergewebes berechnen. Von der physikalischen Annahme hiingt das mathematische Modell, additionally die zu behandelnde Gleichung, abo All diesen inver sen Problemen gemein ist, daB die Daten wegen der unvermeidbaren MeBfehler nie exakt gegeben sind. Leider auch gemein ist diesen Problemen, daB die Datenfehler in der LOsung verstiirkt werden. Die von Hadamard eingefiihrte Bezeichnung " schlecht gestellte professional bleme " ist irrefiihrend, die mathematische Beschreibung eines realen inversen difficulties spiegelt natiirlich auch die praktisch vorhandene Instabilitiit wider. Die reizvolle Aufgabe ist nun, eine Niiherungslosung, moglicherweise unter Zuhilfe nahme zusiitzlicher info, so zu bestimmen, daB die Datenfehler sich nicht iiber ein unvermeidbares MaB hinaus verstiirken. Das Titelbild zeigt eine glatte Kurve, wel che die exakte LOsung eines ungestorten schlecht gestellten difficulties darstellt. Die wild oszillierende Funktion ergibt sich bei ( quickly ) " naiver " LOsung ohne Beriicksichtigung der Schlechtgestelltheit. Abbildung five. 1. 1 zeigt die wirklich " naive" Losung, die keine erkennbare Darstellung der anderen Funktionen bei gleichem MaBstab gestattet."
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Example text
2 Operatorsumme und Ungleichungen Wie in der Einleitung schon erwiihnt, werden wir bei der Behandlung inverser Probleme zwei Einfliisse beriicksichtigen miissen, einmal den Approximationsfehler und zum andern den Datenfehler. Formal fiihrt das auf die Untersuchung der Summe von zwei Operatoren. Seien H, HI, H2 Hilbertriiume und linear und stetig. Auf X = H j X H2 definieren wir den linearen Operator S:X-+H durch fiir x = (Xj,X2). Wir fUhren zwei Normen auf X ein, niimlich und fiir 0 < t < 1 Die zweite Norm wird erzeugt durch das Skalarprodukt 1st der Raum X t der Raum X versehen mit diesem Skalarprodukt, so ist X t ein Hilbertraum fiirO Fiir all a2 E loo konstruieren wir die Operatoren Ak durch punktweise Multiplikation (AkXk)n = ak,n . Xk,n, k = 1,2. Dann ist Ak : l2 ergibt -+ l2 linear und stetig mit Norm lIaklloo . 7. Es seien ai, a2 E loo und Xl, X2 E l2) dann gilt = 0<1<1 inf sup(~a21 + _1_a 22 ) n t ,n 1 _ t ,n = . 3. benutzen U ngleichung 1. Es seien ai, a2 E foo und XI, X2 E f 2) dann gilt folgende Ungleichung fUr aile 0 < t < 1. Ein vergleichbares Ergebnis erhalten wir bei Verwendung von H = HI = H2 = L 2. Mit ak E Loo sei Dann folgt 33 = inf vrai 0<1<1 = inf 0<1<1 max(~a~(e) + -I-aM)) E t 1- t lI~t a~ + 11- ta~IILoo. 12) B ewe is. Mit der Substitution z = x - y folgt aus U* g)(e) = (211')-N/2 JU * g)(x)e-·