By Dieter Klaua
Der vorliegende zweite Teil IIIJ2 von Band III "Kardi nal-und Ordinalzahlen" des Buches "Einführung in die Allgemeine Mengenlehre" ist die unmittelbare castle setzung des ersten Teiles IIIJ1, der damit für das Ver ständnis von IIIJ2 edorderlich ist und dessen Vorwort den gesamten Band III einbezieht. Berlin, Februar 1974 D.KLAUA Inhaltsverzeichnis KAPITEL II Kardinal-und Ordinalzahlen § 7. Kardinalzahlen und ihre Wohlordnung . nine 1. Vorbemerkungen . . . nine 2. Der Kardinalzahlbegriff 10 three. Anordnung. . . . . . 14 four. Nachfolger, Suprema 27 five. Endliche, unendliche Kardinalzahlen. 29 31 6. Zusammenfassung der Begriffe § eight. Arithmetik der Kardinalzahlen 32 1. Summe ..... . 32 2. Allgemeine Summe . 36 three. Produkt ..... . 38 four. Allgemeines Produkt. forty five. Potenz ...... . forty two 6. Elementare Rechengesetze forty six 7. Satz von HESSENBERG . fifty three eight. Satz von KÖNIG 60 nine. Anwendungen ..... sixty four 10. Zusammenfassung der Begriffe seventy five § nine. Ordinalzahlen und ihre Wohlordnung seventy five 1. Der Ordinalzahlbegriff . seventy five 2. Anordnung. . . . . . . . . . . seventy nine three. Nachfolger, Suprema . . . . . . 89 four. Endliche, unendliche Ordinalzahlen ninety one five. Transfinite Folgen . . . . . ninety three 6. KonfinaJität . . . . . . . . ninety seven 7. Zusammenfassung der Begriffe ninety nine Inhaltsverzeichnis 6 § 10. Zahlklassen one zero one 1. Zahlklassen . . . . . a hundred and one 2. Alephs, Anfangszahlen 104 three. Konfinalität . . . . . one hundred ten four. Alephformeln . . . . one hundred fifteen five. Zusammenfassung der Begriffe 122 § eleven. Arithmetik der Ordinalzahlen 122 1. Summe ..... . 122 2. Allgemeine Summe . 129 136 three. Produkt ..... . four. Allgemeines Produkt 142 five. Potenz ..... . 152 a hundred and fifty five 6. Elementare Rechengesetze .
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Ist (ai)iEl eine Kardinalzahlfamilie und (Ai)iEl eine zugehörige Repräsentantenfamilie mit also ai cardA; = für alle i E I, so heißt die Kardinalzahl card X Ai iE! > bezeichnet mit: [J ai' Die ai (für i E I) heißen die Faktoren von [J ai'. iEI iEI Satz 4. ' zugehörige Repräsentantenfamilien (Ai)iEl und Objekte j gilt: a) [J ai iEI (Ai)iEI eineindeutig -+ [Jai iE! (Ai)iEl disjunkt -+ [J ai iE! b) I = 1= cD -+ (iJ = card XA i , iEI = card X (AdiEl' = card X (AdiEI = card (X I X A uswahl- menge von (Adia), n ai = 1 , iE!
A) Für Kardinalzahlen a, b gilt: A b = 0, a· b = 0 -- a = 0 v b = 0, er·b=1--a=1Ab=1, a -I- b = 0 -- a = 0 er, b ~ a + b, -+ a, b a . b =F 0 ~ 0 . b. b) Für Kardinalzahlfamilien (ai)iEI und Objekte j gilt: }; ai iEl = 0 -- Vi(i E 1-+ ai II ai = 0 -- ]i(i E I A = ai = iEl [ ] ai = 1 -- Vi(i E I -+ ai j EI -+ aj ~ }; ai, iEl = 0), 0), 1), iE! j EI A [] iEI ai =F 0 -+ aj ~ [ ] ai. iEl c) Für Kardinalzahlfamilien (Oi)iEl und Mengen J c l mit a; = 0 für alle i EI" J bzw. ' ai bzw. [] Oi = [] 0i· iEI iEJ iE!
EP kEK (Man kann I k =1= Cf) für alle k E I voraussetzen; denn ist ein I k = Cf), so auch P = Cf) , und heide Seiten sind trivial O. li für (k, i) E K'. li). iEI iEl S atz 14. li)iEl und Kardinal- = II b a, , (II ai)li = II a/' . iEI lEI iEI Beweis. Satz 16d), c), Bd. II, § 5. I 7. Satz von HESSENBERG. Der folgende Satz ist charakteristisch für das Rechnen mit unendlichen Mächtigkeiten 54 § 8. Arithmetik der Kardinalzahlen und hat auf die Arithmetik der Kardinalzahlen entscheidenden Einfluß. Satz 15 (Satz von HESSENBERG).