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By Wolfgang Gröbner
Resultantenideale einen neuen, der Idealtheorie naher stehenden Gesichts punkt zur Geltung gebracht; durch eine gewisse Verfeinerung des geometrischen Begriffes "algebraische Mannigfaltigkeit" wird auch erreicht, da. f3 diese geometrischen Gebilde den Polynomidealen um kehrbar eindeutig zugeordnet werden konnen. Dies setzt aber eine Entscheidung iiber die Definition des Multi plizitatsbegriffes voraus. Ich habe von vornherein den idealtheoretischen Multiplizitatsbegriff zugrundegelegt, weil dieser der einfachste, natiir lichste und allgemeingiiltige ist, wahrend der von Severi und v. d. Waer &n eingefiihrte Multiplizitatsbegriff einserseits, wie oben angedeutet, nicht allgemein anwendbar ist, andererseits auf schwierigen Stetigkeits iiberlegungen beruht, die an und fiir sich der idealtheoretischen Methode fremd sind und eine Verwendung des Begriffes bei allgemeineren Grund korpern ausschlie. f3en. Da aber der idealtheoretische Multiplizitats begriff viel scharfer prazisiert ist, so hat dies zur Folge, da. f3 die Geltung gewisser Satze, insbesondere der Schnittpunktsatze, eingeschrankt werden mu. f3. Jedoch gereicht dies, wie ich bei der Ableitung der Satze iiber Projektionen, Schnitte und Einbettungsraume ( four) zeige, nur der Sache zum Vorteil, weil dann der genaue Geltungsbereich dieser Satze abgesteckt und die tieferen Ursachen erkannt werden konnen, warum 1 sie in gewissen Fallen nicht gelten. Die letzten drei Paragraphen enthalten viele neue, noch nicht in einem Lehrbuch verarbeitete und teilweise noch gar nicht veroffentlichte Forschungsergebnisse.
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S 0 (V, C); aus beiden Ungleichungen folgt die Gleichung (24d). Mit Hilfe des Distributivgesetzes la13t sich die Formel (23d) vervollstandigen; es gilt namlich [a, v] (a, v) = ([a, v] a, [a, v] v) C (va, a v) = a v, also [a, v] (a, v) C a v C [a, v]. (24e) v 25. Als vierte Operation ist der Quotient c = a: V zweier Ideale a, erklart: das Quotientenideal C enthalt aIle Ringelemente c, welche c V C a erfiiIlen. Aus der letzten Beziehung folgt (R c) C R a C a, also ist zugleich mit c auch R c C c; ferner folgt aus C1 V C a, C2 V C a auch (c 1 ± c2 ) C a, d.
1, falls ein solcher nicht vorhanden ist. Wir konnen das Resultat so formulieren: a a 8. Der P-Ring K [x] fiber einem beliebigen Konstantenkorper Kist Hauptidealring;2 iedes Ideal besitzt mindestens eine Nullstelle mit alleiniger Ausnahme des Einheitsideals. 9. ,Is ) R in R [x] iiber, wo R einen Integritatsbereich mit Eins bedeutet; K = R sei der Quotientenkorper von R. Offenbar sind die Nullstellen 3 des Ideals a identisch mit den Nullstellen des durch dieselbe Basis in K [x] erzeugten Ideals a.
Der Restklassenring 0 = K [Xl' ... ' xd+l]/a ist ein Integritatsbereich,l dessen Quotientenkarper isomorph K* ist. Das wird leicht durch Wiederholung der schon after durchgefiihrten Uberlegungen bestatigt; denn jedes Polynom g aus K [Xl' ... ' Xd +l ] kann modulo so reduziert werden, daB es beziiglich xd+1 hOchstens den Grad s -1 erreicht, wo s den Grad von beziiglich xd +l bedeutet. 3 man, urn diese Reduktion ausfiihren zu kannen, allenfalls g noch mit einem von xd +l unabhangigen Polynom multiplizieren, bzw.